Vzorce

Predmet

Matematické vzorce

Pytagorova a Euklidove vety, Táles, obsahy a obvody, vektory, priamka a rovina, kužeľosečky, množiny a kombinatorika. So kalkulačkou a nákresmi.

109 / 243

c2=a2+b2c^{2} = a^{2} + b^{2}

Pytagorova veta

M·Geometria·Maturita·Nákres

x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Kvadratická rovnica

M·Algebra·Maturita·Nákres

S=a⋅bS = a \cdot b

Obsah obdĺžnika

M·Geometria·Maturita·Nákres

o=2(a+b)o = 2(a + b)

Obvod obdĺžnika

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=12a⋅vaS = \tfrac{1}{2} a \cdot v_a

Obsah trojuholníka

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=12ab sin⁡γS = \tfrac{1}{2} ab\,\sin\gamma

Obsah trojuholníka z dvoch strán

M·Geometria·Maturita

S=s(s−a)(s−b)(s−c),s=a+b+c2S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\tfrac{a+b+c}{2}

Héronov vzorec

M·Geometria·Maturita

S=πr2S = \pi r^{2}

Obsah kruhu

M·Geometria·Maturita·Nákres

o=2πro = 2\pi r

Obvod kruhu

M·Geometria·Maturita·Nákres

V=43πr3V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}

Objem gule

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=4πr2S = 4\pi r^{2}

Povrch gule

M·Geometria·Maturita·Nákres

V=πr2hV = \pi r^{2} h

Objem valca

M·Geometria·Maturita·Nákres

V=13πr2hV = \tfrac{1}{3}\pi r^{2} h

Objem kužeľa

M·Geometria·Maturita

V=13SphV = \tfrac{1}{3} S_p h

Objem ihlana

M·Geometria·Maturita

sin⁡α=ac\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

Sínus v pravouhlom trojuholníku

M·Trigonometria·Maturita·Nákres

cos⁡α=bc\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

Kosínus v pravouhlom trojuholníku

M·Trigonometria·Maturita·Nákres

tan⁡α=ab\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

Tangens v pravouhlom trojuholníku

M·Trigonometria·Maturita·Nákres

asin⁡α=bsin⁡β=2R\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = 2R

Sínusová veta

M·Trigonometria·Maturita

c2=a2+b2−2ab cos⁡γc^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\,\cos\gamma

Kosínusová veta

M·Trigonometria·Maturita

log⁡ba=log⁡kalog⁡kb\log_b a = \dfrac{\log_k a}{\log_k b}

Zmena základu logaritmu

M·Algebra·Maturita

log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y,log⁡xy=log⁡x−log⁡y,log⁡xn=nlog⁡x\log(xy)=\log x+\log y,\quad \log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y,\quad \log x^{n}=n\log x

Pravidlá logaritmov

M·Algebra·Maturita

aman=am+n,aman=am−n,(am)n=amna^{m}a^{n}=a^{m+n},\quad \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\quad (a^{m})^{n}=a^{mn}

Pravidlá mocnín

M·Algebra·Maturita

an=a1+(n−1)d,sn=n2(a1+an)a_n = a_1 + (n-1)d,\quad s_n = \dfrac{n}{2}(a_1+a_n)

Aritmetická postupnosť

M·Postupnosti·Maturita

an=a1qn−1,sn=a1qn−1q−1a_n = a_1 q^{n-1},\quad s_n = a_1\dfrac{q^{n}-1}{q-1}

Geometrická postupnosť

M·Postupnosti·Maturita

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Kombinačné číslo

M·Kombinatorika·Maturita

P(n)=n!P(n) = n!

Permutácie

M·Kombinatorika·Maturita

V(n,k)=n!(n−k)!V(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}

Variácie

M·Kombinatorika·Maturita

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}

Vzdialenosť dvoch bodov

M·Analytická geometria·Maturita

S=(x1+x22,y1+y22)S = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)

Stred úsečky

M·Analytická geometria·Maturita

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α=uxvx+uyvy\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha = u_x v_x + u_y v_y

Skalárny súčin

M·Vektory·Maturita

∣u⃗∣=ux2+uy2+uz2|\vec{u}| = \sqrt{u_x^{2} + u_y^{2} + u_z^{2}}

Veľkosť vektora

M·Vektory·Maturita

p=cˇastˇcelok⋅100 %p = \dfrac{\text{časť}}{\text{celok}} \cdot 100\,\%

Percentá

M·Algebra·Maturita·Nákres

xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Aritmetický priemer

M·Štatistika·Maturita

s2=1n∑(xi−xˉ)2,s=s2s^{2} = \dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^{2},\quad s = \sqrt{s^{2}}

Rozptyl a smerodajná odchýlka

M·Štatistika·Maturita

(xn)′=nxn−1(x^{n})' = n x^{n-1}

Derivácia mocniny

M·Analýza

(f(g(x)))′=f′(g(x)) g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x))\,g'(x)

Zložená funkcia

M·Analýza

∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1

Integrál mocniny

M·Analýza

k=y2−y1x2−x1,y−y1=k(x−x1)k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad y - y_1 = k(x-x_1)

Smerový koeficient priamky

M·Analytická geometria·Maturita

P=mnP = \dfrac{m}{n}

Klasická pravdepodobnosť

M·Pravdepodobnosť·Maturita

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Doplnkový jav

M·Pravdepodobnosť·Maturita

S=a+c2 vS = \dfrac{a + c}{2}\, v

Obsah lichobežníka

M·Geometria·Maturita

S=a⋅vaS = a \cdot v_a

Obsah rovnobežníka

M·Geometria·Maturita

V=abcV = a b c

Objem kvádra

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab + bc + ac)

Povrch kvádra

M·Geometria·Maturita·Nákres

V=SphV = S_p h

Objem hranola

M·Geometria·Maturita

y=kx+qy = kx + q

Smernicový tvar priamky

M·Analytická geometria·Maturita

(x−m)2+(y−n)2=r2(x - m)^{2} + (y - n)^{2} = r^{2}

Rovnica kružnice

M·Analytická geometria·Maturita

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}

Vietove vzorce

M·Algebra·Maturita

xv=−b2a,yv=c−b24ax_v = -\dfrac{b}{2a},\quad y_v = c - \dfrac{b^{2}}{4a}

Vrchol paraboly

M·Algebra·Maturita

s=a11−q,∣q∣<1s = \dfrac{a_1}{1 - q},\quad |q| < 1

Súčet nekonečnej geometrickej radu

M·Postupnosti·Maturita

K=K0(1+i)nK = K_0 (1 + i)^{n}

Zložené úrokovanie

M·Algebra·Maturita

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1

Základná goniometrická identita

M·Trigonometria·Maturita

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha

Dvojnásobný uhol

M·Trigonometria·Maturita

φ=α⋅π180∘\varphi = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ}}

Stupne a radiány

M·Trigonometria·Maturita

S=2πr(r+h)S = 2\pi r(r + h)

Povrch valca

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=πr(r+s)S = \pi r(r + s)

Povrch kužeľa

M·Geometria·Maturita

x=c1b2−c2b1a1b2−a2b1,y=a1c2−a2c1a1b2−a2b1x = \dfrac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1},\quad y = \dfrac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}

Sústava dvoch lineárnych rovníc

M·Algebra·Maturita

d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Vzdialenosť bodu od priamky

M·Analytická geometria·Maturita

S=α360∘πr2S = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\pi r^{2}

Obsah kruhového výseku

M·Geometria·Maturita

a2=c⋅ca,b2=c⋅cba^{2} = c \cdot c_{a},\quad b^{2} = c \cdot c_{b}

Euklidova veta o odvesne

M·Geometria·Maturita·Nákres

v2=ca⋅cbv^{2} = c_{a} \cdot c_{b}

Euklidova veta o výške

M·Geometria·Maturita·Nákres

∣∠ACB∣=90∘ak AB je priemer\lvert\angle ACB\rvert = 90^{\circ}\quad\text{ak }AB\text{ je priemer}

Tálesova veta

M·Geometria·Maturita·Nákres

R=abc4SR = \dfrac{abc}{4S}

Polomer opísanej kružnice

M·Geometria·Maturita

ρ=Ss,s=a+b+c2\rho = \dfrac{S}{s},\quad s=\tfrac{a+b+c}{2}

Polomer vpísanej kružnice

M·Geometria·Maturita

m=a2m = \dfrac{a}{2}

Stredná priečka trojuholníka

M·Geometria·Maturita

AT:TA1=2:1AT : TA_{1} = 2 : 1

Ťažisko trojuholníka

M·Geometria·Maturita

o′=k o,S′=k2S,V′=k3Vo' = k\,o,\quad S' = k^{2}S,\quad V' = k^{3}V

Koeficient podobnosti

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=uv2S = \dfrac{u v}{2}

Obsah kosoštvorca a deltoidu

M·Geometria·Maturita·Nákres

S=u22,o=22 uS = \dfrac{u^{2}}{2},\quad o = 2\sqrt{2}\,u

Štvorec z uhlopriečky

M·Geometria·Maturita

S=34a2S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}

Obsah rovnostranného trojuholníka

M·Geometria·Maturita

α=180∘−360∘n=(n−2)n 180∘\alpha = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{n} = \dfrac{(n-2)}{n}\,180^{\circ}

Vnútorný uhol n-uholníka

M·Geometria·Maturita

p=n(n−3)2p = \dfrac{n(n-3)}{2}

Počet uhlopriečok n-uholníka

M·Geometria·Maturita

S=na24 tan⁡(180∘/n)S = \dfrac{n a^{2}}{4\,\tan(180^{\circ}/n)}

Obsah pravidelného n-uholníka

M·Geometria·Maturita

α=2β\alpha = 2\beta

Stredový a obvodový uhol

M·Geometria·Maturita·Nákres

l=α360∘ 2πrl = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\,2\pi r

Dĺžka kružnicového oblúka

M·Geometria·Maturita

S=α360∘πr2−12r2sin⁡αS = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\pi r^{2} - \tfrac{1}{2} r^{2}\sin\alpha

Obsah kruhového odseku

M·Geometria·Maturita

S=π(R2−r2)S = \pi(R^{2} - r^{2})

Obsah medzikružia

M·Geometria·Maturita

u⃗=B−A=(x2−x1; y2−y1; z2−z1)\vec{u} = B - A = (x_2-x_1;\, y_2-y_1;\, z_2-z_1)

Súradnice vektora

M·Vektory·Maturita

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}

Vzdialenosť dvoch bodov v priestore

M·Analytická geometria·Maturita

S=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)S = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2},\dfrac{z_1+z_2}{2}\right)

Stred úsečky v priestore

M·Analytická geometria·Maturita

cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\varphi = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lvert\vec{u}\rvert\,\lvert\vec{v}\rvert}

Uhol dvoch vektorov

M·Vektory·Maturita

e⃗=u⃗∣u⃗∣\vec{e} = \dfrac{\vec{u}}{\lvert\vec{u}\rvert}

Jednotkový vektor

M·Vektory·Maturita

u⃗×v⃗=(uyvz−uzvy;  uzvx−uxvz;  uxvy−uyvx)\vec{u}\times\vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y;\; u_z v_x - u_x v_z;\; u_x v_y - u_y v_x)

Vektorový súčin

M·Vektory·Maturita

S=∣u⃗×v⃗∣,S△=12∣u⃗×v⃗∣S = \lvert\vec{u}\times\vec{v}\rvert,\quad S_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\lvert\vec{u}\times\vec{v}\rvert

Obsah rovnobežníka z vektorov

M·Vektory·Maturita

V=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣V = \lvert(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\rvert

Zmiešaný súčin

M·Vektory·Maturita

x=a1+tu1,y=a2+tu2,t∈Rx = a_1 + t u_1,\quad y = a_2 + t u_2,\quad t\in\mathbb{R}

Parametrická rovnica priamky

M·Analytická geometria·Maturita

ax+by+c=0ax + by + c = 0

Všeobecná rovnica priamky

M·Analytická geometria·Maturita

k1k2=−1k_1 k_2 = -1

Kolmé priamky

M·Analytická geometria·Maturita

cos⁡α=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\alpha = \dfrac{\lvert\vec{u}\cdot\vec{v}\rvert}{\lvert\vec{u}\rvert\,\lvert\vec{v}\rvert}

Odchýlka dvoch priamok

M·Analytická geometria·Maturita

X=A+t u⃗+s v⃗,t,s∈RX = A + t\,\vec{u} + s\,\vec{v},\quad t,s\in\mathbb{R}

Parametrická rovnica roviny

M·Analytická geometria·Maturita

ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0

Všeobecná rovnica roviny

M·Analytická geometria·Maturita

d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d = \dfrac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 + d\rvert}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

Vzdialenosť bodu od roviny

M·Analytická geometria·Maturita

x2+y2+ax+by+c=0x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0

Všeobecná rovnica kružnice

M·Kužeľosečky·Maturita

(x0−m)(x−m)+(y0−n)(y−n)=r2(x_0-m)(x-m) + (y_0-n)(y-n) = r^{2}

Dotyčnica kružnice

M·Kužeľosečky·Maturita

x2a2+y2b2=1\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Rovnica elipsy

M·Kužeľosečky·Maturita·Nákres

x2a2−y2b2=1\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Rovnica hyperboly

M·Kužeľosečky·Maturita

y2=2pxy^{2} = 2px

Rovnica paraboly

M·Kužeľosečky·Maturita

(A∧B)′⇔A′∨B′,(A∨B)′⇔A′∧B′(A\land B)' \Leftrightarrow A' \lor B',\quad (A\lor B)' \Leftrightarrow A' \land B'

De Morganove pravidlá

M·Logika a množiny·Maturita

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣\lvert A\cup B\rvert = \lvert A\rvert + \lvert B\rvert - \lvert A\cap B\rvert

Princíp zapojenia a vypojenia

M·Logika a množiny·Maturita

∣P(M)∣=2n\lvert\mathcal{P}(M)\rvert = 2^{n}

Počet podmnožín

M·Logika a množiny·Maturita

nsd(a,b)⋅nsn(a,b)=a⋅b\mathrm{nsd}(a,b)\cdot\mathrm{nsn}(a,b) = a\cdot b

NSD a NSN

M·Číselné obory·Maturita

α+γ=180∘\alpha + \gamma = 180^{\circ}

Tetivový štvoruholník

M·Geometria·Maturita·Nákres

a+c=b+da + c = b + d

Dotyčnicový štvoruholník

M·Geometria·Maturita·Nákres

ta=122b2+2c2−a2t_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}

Dĺžka ťažnice

M·Geometria·Maturita

X=nA+mBm+n(∣AX∣:∣XB∣=m:n)X = \dfrac{nA + mB}{m + n}\quad\bigl(\lvert AX\rvert:\lvert XB\rvert = m:n\bigr)

Delenie úsečky v pomere

M·Analytická geometria·Maturita·Nákres

projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lvert\vec{v}\rvert^{2}}\vec{v}

Kolmý priemet vektora

M·Vektory·Maturita

cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣ ∣n⃗2∣\cos\varphi = \dfrac{\lvert\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2\rvert}{\lvert\vec{n}_1\rvert\,\lvert\vec{n}_2\rvert}

Odchýlka dvoch rovín

M·Analytická geometria·Maturita

sin⁡φ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣ ∣n⃗∣\sin\varphi = \dfrac{\lvert\vec{u}\cdot\vec{n}\rvert}{\lvert\vec{u}\rvert\,\lvert\vec{n}\rvert}

Odchýlka priamky a roviny

M·Analytická geometria·Maturita

n=d3b3+d2b2+d1b+d0n = d_3 b^{3} + d_2 b^{2} + d_1 b + d_0

Zápis v pozičnej sústave

M·Číselné obory·Maturita

KonštantyPrevody